x^2-3x+1<0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

x için çöz

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

Eşitsizliği çözmek için sol tarafı çarpanlarına ayırın. İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$x^{2}-3x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 1, b için -3 ve c için 1 kullanın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

± artı ve ± eksi olduğunda x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} denklemini çözün.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Elde edilen çözümleri kullanarak eşitsizliği yeniden yazın.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Çarpımın negatif olması için x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} ve x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} değerlerinin ters işaretli olması gerekir. x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} değerinin pozitif ve x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Bu, her x için yanlıştır.

$$x\in \emptyset$$

x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} değerinin pozitif ve x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Son çözüm, elde edilen çözümlerin birleşimidir.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$