x^2-21x+104=0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

x için çözün

$$x=8$$

$$x=13$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}-21x+104 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-21 ab=104$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 104 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Çözüm, -21 toplamını veren çifttir.

$$a=-13 b=-8$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-13=0 ve x-8=0 çözün.

$$x=13 x=8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+104 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 104 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Çözüm, -21 toplamını veren çifttir.

$$a=-13 b=-8$$

x^{2}-21x+104 ifadesini \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -8 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-13 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-13=0 ve x-8=0 çözün.

$$x=13 x=8$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -21 ve c yerine 104 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

-21 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

-4 ile 104 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

-416 ile 441 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

25 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

-21 sayısının tersi: 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{21±5}{2} denklemini çözün. 5 ile 21 sayısını toplayın.

$$x=\frac{26}{2}$$

26 sayısını 2 ile bölün.

$$x=13$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{21±5}{2} denklemini çözün. 5 sayısını 21 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{16}{2}$$

16 sayısını 2 ile bölün.

$$x=8$$

Denklem çözüldü.

$$x=13 x=8$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Denklemin her iki tarafından 104 çıkarın.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

104 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-21x=-104$$

x teriminin katsayısı olan -21 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{21}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{21}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

-\frac{21}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

\frac{441}{4} ile -104 sayısını toplayın.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktör x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{21}{2} ekleyin.

$$x=13 x=8$$