x^2-11x+30=0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } -11x+30=0$$

x için çözün

$$x=5$$

$$x=6$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}-11x+30 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=-5$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve x-5=0 çözün.

$$x=6 x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+30 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=-5$$

x^{2}-11x+30 ifadesini \left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -5 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve x-5=0 çözün.

$$x=6 x=5$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -11 ve c yerine 30 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

-11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

-4 ile 30 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

-120 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

-11 sayısının tersi: 11.

$$x=\frac{11±1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{11±1}{2} denklemini çözün. 1 ile 11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{2}$$

12 sayısını 2 ile bölün.

$$x=6$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{11±1}{2} denklemini çözün. 1 sayısını 11 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{10}{2}$$

10 sayısını 2 ile bölün.

$$x=5$$

Denklem çözüldü.

$$x=6 x=5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Denklemin her iki tarafından 30 çıkarın.

$$x^{2}-11x+30-30=-30$$

30 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-11x=-30$$

x teriminin katsayısı olan -11 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} ile -30 sayısını toplayın.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktör x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{2} ekleyin.

$$x=6 x=5$$