x^2+7x+12=0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } +7x+12=0$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x=-3$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formülünü kullanarak x^{2}+7x+12 ifadesini çarpanlarına ayırın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=12$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,12 2,6 3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=4$$

Alınan değerleri kullanarak çarpanlarına ayrılmış \left(x+a\right)\left(x+b\right) ifadesini yeniden yazın.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+3=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=-3 x=-4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=1\times 12=12$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,12 2,6 3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=4$$

x^{2}+7x+12 ifadesini \left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 4 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x+3\right)+4\left(x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+3=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=-3 x=-4$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine 7 ve c yerine 12 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12}}{2}$$

7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12}}{2}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2}$$

-48 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-7±1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±1}{2} denklemini çözün. 1 ile -7 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{6}{2}$$

-6 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±1}{2} denklemini çözün. 1 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{2}$$

-8 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=-3 x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Denklemin her iki tarafından 12 çıkarın.

$$x^{2}+7x+12-12=-12$$

12 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+7x=-12$$

x teriminin katsayısı olan 7 sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-12+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

\frac{7}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-12+\frac{49}{4}$$

\frac{49}{4} ile -12 sayısını toplayın.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{1}{4}$$

x^{2}+7x+\frac{49}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{2} çıkarın.

$$x=-3 x=-4$$