x^2+25x+100=0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

x için çözün

$$x=-20$$

$$x=-5$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+25x+100 formül x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=25 ab=100$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 100 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Çözüm, 25 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=20$$

Alınan değerleri kullanarak \left(x+a\right)\left(x+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+5=0 ve x+20=0 çözün.

$$x=-5 x=-20$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+100 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 100 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Çözüm, 25 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=20$$

x^{2}+25x+100 ifadesini \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 20 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x+5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+5=0 ve x+20=0 çözün.

$$x=-5 x=-20$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine 25 ve c yerine 100 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

25 sayısının karesi.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

-4 ile 100 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

-400 ile 625 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

225 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-25±15}{2} denklemini çözün. 15 ile -25 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-25±15}{2} denklemini çözün. 15 sayısını -25 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{40}{2}$$

-40 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-20$$

Denklem çözüldü.

$$x=-5 x=-20$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Denklemin her iki tarafından 100 çıkarın.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

100 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+25x=-100$$

x teriminin katsayısı olan 25 sayısını 2 değerine bölerek \frac{25}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{25}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

\frac{25}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

\frac{625}{4} ile -100 sayısını toplayın.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

Faktör x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{25}{2} çıkarın.

$$x=-5 x=-20$$