x^2+10x+21=0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } +10x+21 = 0$$

x için çözün

$$x=-7$$

$$x=-3$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formülünü kullanarak x^{2}+10x+21 ifadesini çarpanlarına ayırın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=21$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 21 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,21 3,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+21=22 3+7=10$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=7$$

Alınan değerleri kullanarak çarpanlarına ayrılmış \left(x+a\right)\left(x+b\right) ifadesini yeniden yazın.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+3=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=-3 x=-7$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+21 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=1\times 21=21$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 21 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,21 3,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+21=22 3+7=10$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=7$$

x^{2}+10x+21 ifadesini \left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right)$$

İlk grubu x, ikinci grubu 7 ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(x+3\right)+7\left(x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+3=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=-3 x=-7$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine 10 ve c yerine 21 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 21}}{2}$$

10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

-4 ile 21 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-84}}{2}$$

-84 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{16}}{2}$$

16 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-10±4}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±4}{2} denklemini çözün. 4 ile -10 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{6}{2}$$

-6 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±4}{2} denklemini çözün. 4 sayısını -10 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{2}$$

-14 sayısını 2 ile bölün.

$$x=-7$$

Denklem çözüldü.

$$x=-3 x=-7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Denklemin her iki tarafından 21 çıkarın.

$$x^{2}+10x+21-21=-21$$

21 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}+10x=-21$$

x teriminin katsayısı olan 10 sayısını 2 değerine bölerek 5 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 5 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-21+5^{2}$$

5 sayısının karesi.

$$x^{2}+10x+25=-21+25$$

25 ile -21 sayısını toplayın.

$$x^{2}+10x+25=4$$

x^{2}+10x+25 ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+5\right)^{2}=4$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sadeleştirin.

$$x+5=2 x+5=-2$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$x=-3 x=-7$$