left(x+3right)^3-x^3=279 Denklemini Çözme

$${ \left(x+3 \right) }^{ 3 } - { x }^{ 3 } =279$$

x için çözün

$$x=-7$$

$$x=4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x+3\right)^{3} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} binom teoremini kullanın.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

x^{3} ve -x^{3} terimlerini birleştirerek 0 sonucunu elde edin.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Her iki taraftan 279 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

27 sayısından 279 sayısını çıkarıp -252 sonucunu bulun.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-28 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -28 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 ifadesini \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=4 x=-7$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x+3\right)^{3} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} binom teoremini kullanın.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

x^{3} ve -x^{3} terimlerini birleştirerek 0 sonucunu elde edin.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Her iki taraftan 279 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

27 sayısından 279 sayısını çıkarıp -252 sonucunu bulun.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine 27 ve c yerine -252 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

27 sayısının karesi.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

-36 ile -252 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

9072 ile 729 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-27±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

9801 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-27±99}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-27±99}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-27±99}{18} denklemini çözün. 99 ile -27 sayısını toplayın.

$$x=\frac{72}{18}$$

72 sayısını 18 ile bölün.

$$x=4$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-27±99}{18} denklemini çözün. 99 sayısını -27 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{126}{18}$$

-126 sayısını 18 ile bölün.

$$x=-7$$

Denklem çözüldü.

$$x=4 x=-7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x+3\right)^{3} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} binom teoremini kullanın.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

x^{3} ve -x^{3} terimlerini birleştirerek 0 sonucunu elde edin.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Her iki taraftan 27 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+27x=279-27$$

279 sayısından 27 sayısını çıkarıp 252 sonucunu bulun.

$$9x^{2}+27x=252$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}+27x}{9}=\frac{252}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{27}{9}x=\frac{252}{9}$$

27 sayısını 9 ile bölün.

$$x^{2}+3x=\frac{252}{9}$$

252 sayısını 9 ile bölün.

$$x^{2}+3x=28$$

x teriminin katsayısı olan 3 sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} ile 28 sayısını toplayın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktör x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{2} çıkarın.

$$x=4 x=-7$$