left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2 Denklemini Çözme

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

x için çözün

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

\left(x+14\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x+11\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121 sayısının zıttını bulmak için, her terimin zıttını bulun.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 0 sonucunu elde edin.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

28x ve -22x terimlerini birleştirerek 6x sonucunu elde edin.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

196 sayısından 121 sayısını çıkarıp 75 sonucunu bulun.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x-6\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Her iki tarafa 12x ekleyin.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

6x ve 12x terimlerini birleştirerek 18x sonucunu elde edin.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Her iki taraftan 36 sayısını çıkarın.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

75 sayısından 36 sayısını çıkarıp 39 sonucunu bulun.

$$18x+39-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine -1, b yerine 18 ve c yerine 39 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

18 sayısının karesi.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 39 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

156 ile 324 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

480 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} denklemini çözün. 4\sqrt{30} ile -18 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18+4\sqrt{30} sayısını -2 ile bölün.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} denklemini çözün. 4\sqrt{30} sayısını -18 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18-4\sqrt{30} sayısını -2 ile bölün.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Denklem çözüldü.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x+14\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x+11\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121 sayısının zıttını bulmak için, her terimin zıttını bulun.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 0 sonucunu elde edin.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

28x ve -22x terimlerini birleştirerek 6x sonucunu elde edin.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

196 sayısından 121 sayısını çıkarıp 75 sonucunu bulun.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x-6\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Her iki tarafa 12x ekleyin.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

6x ve 12x terimlerini birleştirerek 18x sonucunu elde edin.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Her iki taraftan 75 sayısını çıkarın.

$$18x-x^{2}=36-75$$

36 sayısından 75 sayısını çıkarıp -39 sonucunu bulun.

$$18x-x^{2}=-39$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

18 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

-39 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-18x=39$$

x teriminin katsayısı olan -18 sayısını 2 değerine bölerek -9 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -9 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

-9 sayısının karesi.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

81 ile 39 sayısını toplayın.

$$x^{2}-18x+81=120$$

x^{2}-18x+81 ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Sadeleştirin.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$