left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23 Denklemini Çözme

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(2x-3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

\left(x-5\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

4x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

-12x ve 10x terimlerini birleştirerek -2x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

9 sayısından 25 sayısını çıkarıp -16 sonucunu bulun.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Her iki tarafa 23 ekleyin.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

-16 ve 23 sayılarını toplayarak 7 sonucunu bulun.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -2 ve c yerine 7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

-84 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

-80 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} denklemini çözün. 4i\sqrt{5} ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

2+4i\sqrt{5} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} denklemini çözün. 4i\sqrt{5} sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

2-4i\sqrt{5} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(2x-3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

\left(x-5\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

4x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 3x^{2} sonucunu elde edin.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

-12x ve 10x terimlerini birleştirerek -2x sonucunu elde edin.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

9 sayısından 25 sayısını çıkarıp -16 sonucunu bulun.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Her iki tarafa 16 ekleyin.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

-23 ve 16 sayılarını toplayarak -7 sonucunu bulun.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{7}{3} ile \frac{1}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} ekleyin.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$