left(12-xright)^2+144=9x^2 Denklemini Çözme

$${ \left(12-x \right) }^{ 2 } +144=9 { x }^{ 2 }$$

x için çözün

$$x = \frac{3 \sqrt{17} - 3}{2} \approx 4,684658438$$

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}\approx -7,684658438$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(12-x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

144 ve 144 sayılarını toplayarak 288 sonucunu bulun.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Her iki taraftan 9x^{2} sayısını çıkarın.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

x^{2} ve -9x^{2} terimlerini birleştirerek -8x^{2} sonucunu elde edin.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-8x^{2}-24x+288=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -8, b yerine -24 ve c yerine 288 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

-24 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

-4 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+32\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

32 ile 288 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+9216}}{2\left(-8\right)}$$

9216 ile 576 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{9792}}{2\left(-8\right)}$$

9792 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

-24 sayısının tersi: 24.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

2 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16} denklemini çözün. 24\sqrt{17} ile 24 sayısını toplayın.

$$x=\frac{24\sqrt{17}+24}{-16}$$

24+24\sqrt{17} sayısını -16 ile bölün.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16} denklemini çözün. 24\sqrt{17} sayısını 24 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{24-24\sqrt{17}}{-16}$$

24-24\sqrt{17} sayısını -16 ile bölün.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(12-x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

144 ve 144 sayılarını toplayarak 288 sonucunu bulun.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Her iki taraftan 9x^{2} sayısını çıkarın.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

x^{2} ve -9x^{2} terimlerini birleştirerek -8x^{2} sonucunu elde edin.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

Her iki taraftan 288 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$-24x-8x^{2}=-288$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-8x^{2}-24x=-288$$

Her iki tarafı -8 ile bölün.

$$\frac{-8x^{2}-24x}{-8}=-\frac{288}{-8}$$

-8 ile bölme, -8 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-8}\right)x=-\frac{288}{-8}$$

-24 sayısını -8 ile bölün.

$$x^{2}+3x=-\frac{288}{-8}$$

-288 sayısını -8 ile bölün.

$$x^{2}+3x=36$$

x teriminin katsayısı olan 3 sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=36+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} ile 36 sayısını toplayın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}$$

Faktör x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{153}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{17}}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{2} çıkarın.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$