{left(14-4y/3right)}^2-10(14-4y/3)+y^2-12y-39=0 Denklemini Çözme

$${ \left( \frac{ 14-4y }{ 3 } \right) }^{ 2 } -10( \frac{ 14-4y }{ 3 } )+ { y }^{ 2 } -12y-39=0$$

y için çözün

$$y=3\sqrt{3}+2\approx 7,196152423$$

$$y=2-3\sqrt{3}\approx -3,196152423$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Denklemin her iki tarafını 3 ile çarpın.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

\frac{14-4y}{3} ifadesini üslü yapmak için, hem payı hem de paydayı ilgili kuvvete yükseltin ve sonra bölün.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

10\times \frac{14-4y}{3} değerini tek bir kesir olarak ifade edin.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

10 sayısını 14-4y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

İfadeleri toplamak ve çıkarmak için bunları genişleterek paydalarını eşitleyin. 3^{2} ve 3 sayılarının en küçük ortak katı 9 sayısıdır. \frac{140-40y}{3} ile \frac{3}{3} sayısını çarpın.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} ile \frac{3\left(140-40y\right)}{9} aynı paydaya sahip olduğundan paylarını çıkararak çıkarma işlemi yapabilirsiniz.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right) ifadesindeki çarpımları yapın.

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

196-112y+16y^{2}-420+120y ifadesindeki benzer terimleri toplayın.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

3 ve 9 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 9 ile sadeleştirin.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

-224+8y+16y^{2} ifadesinin her terimini 3 ile bölerek -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2} sonucunu bulun.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

\frac{16}{3}y^{2} ve 3y^{2} terimlerini birleştirerek \frac{25}{3}y^{2} sonucunu elde edin.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

\frac{8}{3}y ve -36y terimlerini birleştirerek -\frac{100}{3}y sonucunu elde edin.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

-\frac{224}{3} sayısından 117 sayısını çıkarıp -\frac{575}{3} sonucunu bulun.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y-\frac{575}{3}=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine \frac{25}{3}, b yerine -\frac{100}{3} ve c yerine -\frac{575}{3} değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{100}{3}\right)^{2}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

-\frac{100}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

-4 ile \frac{25}{3} sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-\frac{100}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak -\frac{100}{3} ile -\frac{575}{3} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000+57500}{9}}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{10000}{9} ile \frac{57500}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{7500}}{2\times \frac{25}{3}}$$

7500 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

-\frac{100}{3} sayısının tersi: \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

2 ile \frac{25}{3} sayısını çarpın.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} denklemini çözün. 50\sqrt{3} ile \frac{100}{3} sayısını toplayın.

$$y=\frac{50\sqrt{3}+\frac{100}{3}}{\frac{50}{3}}$$

\frac{100}{3}+50\sqrt{3} sayısını \frac{50}{3} ile bölmek için \frac{100}{3}+50\sqrt{3} sayısını \frac{50}{3} sayısının tersiyle çarpın.

$$y=3\sqrt{3}+2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} denklemini çözün. 50\sqrt{3} sayısını \frac{100}{3} sayısından çıkarın.

$$y=\frac{\frac{100}{3}-50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

\frac{100}{3}-50\sqrt{3} sayısını \frac{50}{3} ile bölmek için \frac{100}{3}-50\sqrt{3} sayısını \frac{50}{3} sayısının tersiyle çarpın.

$$y=2-3\sqrt{3}$$

Denklem çözüldü.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Denklemin her iki tarafını 3 ile çarpın.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

\frac{14-4y}{3} ifadesini üslü yapmak için, hem payı hem de paydayı ilgili kuvvete yükseltin ve sonra bölün.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

10\times \frac{14-4y}{3} değerini tek bir kesir olarak ifade edin.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

10 sayısını 14-4y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

İfadeleri toplamak ve çıkarmak için bunları genişleterek paydalarını eşitleyin. 3^{2} ve 3 sayılarının en küçük ortak katı 9 sayısıdır. \frac{140-40y}{3} ile \frac{3}{3} sayısını çarpın.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} ile \frac{3\left(140-40y\right)}{9} aynı paydaya sahip olduğundan paylarını çıkararak çıkarma işlemi yapabilirsiniz.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right) ifadesindeki çarpımları yapın.

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

196-112y+16y^{2}-420+120y ifadesindeki benzer terimleri toplayın.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

3 ve 9 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 9 ile sadeleştirin.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

-224+8y+16y^{2} ifadesinin her terimini 3 ile bölerek -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2} sonucunu bulun.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

\frac{16}{3}y^{2} ve 3y^{2} terimlerini birleştirerek \frac{25}{3}y^{2} sonucunu elde edin.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

\frac{8}{3}y ve -36y terimlerini birleştirerek -\frac{100}{3}y sonucunu elde edin.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

-\frac{224}{3} sayısından 117 sayısını çıkarıp -\frac{575}{3} sonucunu bulun.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Her iki tarafa \frac{575}{3} ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=\frac{575}{3}$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y=\frac{575}{3}$$

Denklemin her iki tarafını \frac{25}{3} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.

$$\frac{\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y}{\frac{25}{3}}=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

\frac{25}{3} ile bölme, \frac{25}{3} ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}+\left(-\frac{\frac{100}{3}}{\frac{25}{3}}\right)y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

-\frac{100}{3} sayısını \frac{25}{3} ile bölmek için -\frac{100}{3} sayısını \frac{25}{3} sayısının tersiyle çarpın.

$$y^{2}-4y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

\frac{575}{3} sayısını \frac{25}{3} ile bölmek için \frac{575}{3} sayısını \frac{25}{3} sayısının tersiyle çarpın.

$$y^{2}-4y=23$$

x teriminin katsayısı olan -4 sayısını 2 değerine bölerek -2 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -2 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-4y+\left(-2\right)^{2}=23+\left(-2\right)^{2}$$

-2 sayısının karesi.

$$y^{2}-4y+4=23+4$$

4 ile 23 sayısını toplayın.

$$y^{2}-4y+4=27$$

Faktör y^{2}-4y+4. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-2\right)^{2}=27$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{27}$$

Sadeleştirin.

$$y-2=3\sqrt{3} y-2=-3\sqrt{3}$$

Denklemin her iki tarafına 2 ekleyin.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$