sqrt{x+3}=sqrt{5x}-1 Denklemini Çözme

$$\sqrt{ x+3 } = \sqrt{ 5x } -1$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{65} + 9}{8} \approx 2,132782219$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{x+3} kuvvetini hesaplayarak x+3 sonucunu bulun.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}\right)^{2}-2\sqrt{5x}+1$$

2 sayısının \sqrt{5x} kuvvetini hesaplayarak 5x sonucunu bulun.

$$x+3=5x-2\sqrt{5x}+1$$

Denklemin her iki tarafından 5x+1 çıkarın.

$$x+3-\left(5x+1\right)=-2\sqrt{5x}$$

5x+1 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$x+3-5x-1=-2\sqrt{5x}$$

x ve -5x terimlerini birleştirerek -4x sonucunu elde edin.

$$-4x+3-1=-2\sqrt{5x}$$

3 sayısından 1 sayısını çıkarıp 2 sonucunu bulun.

$$-4x+2=-2\sqrt{5x}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(-4x+2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

\left(-4x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2} üssünü genişlet.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

2 sayısının -2 kuvvetini hesaplayarak 4 sonucunu bulun.

$$16x^{2}-16x+4=4\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{5x} kuvvetini hesaplayarak 5x sonucunu bulun.

$$16x^{2}-16x+4=4\times 5x$$

4 ve 5 sayılarını çarparak 20 sonucunu bulun.

$$16x^{2}-16x+4=20x$$

Her iki taraftan 20x sayısını çıkarın.

$$16x^{2}-16x+4-20x=0$$

-16x ve -20x terimlerini birleştirerek -36x sonucunu elde edin.

$$16x^{2}-36x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 16, b yerine -36 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

-36 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

-4 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-64\times 4}}{2\times 16}$$

-64 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-256}}{2\times 16}$$

-256 ile 1296 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1040}}{2\times 16}$$

1040 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

-36 sayısının tersi: 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

2 ile 16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} denklemini çözün. 4\sqrt{65} ile 36 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4\sqrt{65}+36}{32}$$

36+4\sqrt{65} sayısını 32 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} denklemini çözün. 4\sqrt{65} sayısını 36 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{36-4\sqrt{65}}{32}$$

36-4\sqrt{65} sayısını 32 ile bölün.

$$x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

\sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 denkleminde x yerine \frac{\sqrt{65}+9}{8} ifadesini koyun.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Sadeleştirin. x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} değeri denklemi karşılıyor.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 denkleminde x yerine \frac{9-\sqrt{65}}{8} ifadesini koyun.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{9-\sqrt{65}}{8}}-1$$

Sadeleştirin. x=\frac{9-\sqrt{65}}{8} değeri denklemi karşılamıyor çünkü sol ve sağ taraf zıt işaretlere sahip.

$$-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 denkleminde x yerine \frac{\sqrt{65}+9}{8} ifadesini koyun.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Sadeleştirin. x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} değeri denklemi karşılıyor.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Denklem \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 benzersiz çözümü bulunuyor.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$