sqrt{x}=x-1 Denklemini Çözme

$$\sqrt{ x } =x-1$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{x} kuvvetini hesaplayarak x sonucunu bulun.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Her iki tarafa 2x ekleyin.

$$x-x^{2}+2x=1$$

x ve 2x terimlerini birleştirerek 3x sonucunu elde edin.

$$3x-x^{2}=1$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$3x-x^{2}-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 3 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} denklemini çözün. \sqrt{5} ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

-3+\sqrt{5} sayısını -2 ile bölün.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} denklemini çözün. \sqrt{5} sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

-3-\sqrt{5} sayısını -2 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

\sqrt{x}=x-1 denkleminde x yerine \frac{3-\sqrt{5}}{2} ifadesini koyun.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Sadeleştirin. x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} değeri denklemi karşılamıyor çünkü sol ve sağ taraf zıt işaretlere sahip.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x}=x-1 denkleminde x yerine \frac{\sqrt{5}+3}{2} ifadesini koyun.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Sadeleştirin. x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} değeri denklemi karşılıyor.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Denklem \sqrt{x}=x-1 benzersiz çözümü bulunuyor.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$