sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1 Denklemini Çözme

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

x için çözün

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafından -\sqrt{x-1} çıkarın.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{2x-5} kuvvetini hesaplayarak 2x-5 sonucunu bulun.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{x-1} kuvvetini hesaplayarak x-1 sonucunu bulun.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

1 sayısından 1 sayısını çıkarıp 0 sonucunu bulun.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Denklemin her iki tarafından x çıkarın.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

2x ve -x terimlerini birleştirerek x sonucunu elde edin.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(x-5\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2} üssünü genişlet.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının 2 kuvvetini hesaplayarak 4 sonucunu bulun.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{x-1} kuvvetini hesaplayarak x-1 sonucunu bulun.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

4 sayısını x-1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Her iki taraftan 4x sayısını çıkarın.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

-10x ve -4x terimlerini birleştirerek -14x sonucunu elde edin.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Her iki tarafa 4 ekleyin.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

25 ve 4 sayılarını toplayarak 29 sonucunu bulun.

$$x^{2}-14x+29=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -14 ve c yerine 29 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

-14 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

-4 ile 29 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

-116 ile 196 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

80 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

-14 sayısının tersi: 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} denklemini çözün. 4\sqrt{5} ile 14 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

14+4\sqrt{5} sayısını 2 ile bölün.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} denklemini çözün. 4\sqrt{5} sayısını 14 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

14-4\sqrt{5} sayısını 2 ile bölün.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

\sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1 denkleminde x yerine 2\sqrt{5}+7 ifadesini koyun.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Sadeleştirin. x=2\sqrt{5}+7 değeri denklemi karşılıyor.

$$1=1$$

\sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1 denkleminde x yerine 7-2\sqrt{5} ifadesini koyun.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Sadeleştirin. x=7-2\sqrt{5} değeri denklemi karşılamıyor çünkü sol ve sağ taraf zıt işaretlere sahip.

$$-1=1$$

\sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1 denkleminde x yerine 2\sqrt{5}+7 ifadesini koyun.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Sadeleştirin. x=2\sqrt{5}+7 değeri denklemi karşılıyor.

$$1=1$$

Denklem \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 benzersiz çözümü bulunuyor.

$$x=2\sqrt{5}+7$$