sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4 Denklemini Çözme

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

x için çözün (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafından -\sqrt{15+x^{2}} çıkarın.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{25-x^{2}} kuvvetini hesaplayarak 25-x^{2} sonucunu bulun.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{15+x^{2}} kuvvetini hesaplayarak 15+x^{2} sonucunu bulun.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

16 ve 15 sayılarını toplayarak 31 sonucunu bulun.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Denklemin her iki tarafından 31+x^{2} çıkarın.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2} tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

25 sayısından 31 sayısını çıkarıp -6 sonucunu bulun.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek -2x^{2} sonucunu elde edin.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-6-2x^{2}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Bir sayının üssünün başka bir sayıya üssünü almak için üsleri çarpın. 2 ile 2 çarpıldığında 4 elde edilir.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} üssünü genişlet.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının 8 kuvvetini hesaplayarak 64 sonucunu bulun.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{15+x^{2}} kuvvetini hesaplayarak 15+x^{2} sonucunu bulun.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

64 sayısını 15+x^{2} ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Her iki taraftan 960 sayısını çıkarın.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

36 sayısından 960 sayısını çıkarıp -924 sonucunu bulun.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Her iki taraftan 64x^{2} sayısını çıkarın.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

24x^{2} ve -64x^{2} terimlerini birleştirerek -40x^{2} sonucunu elde edin.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2} değerini t ile değiştirin.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 4, b için -40 ve c için -924 kullanın.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Hesaplamaları yapın.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

± artı ve ± eksi olduğunda t=\frac{40±128}{8} denklemini çözün.

$$t=21 t=-11$$

x=t^{2} bu yana, her t için x=±\sqrt{t} değerlendirilirken çözümler elde edilir.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 denkleminde x yerine -\sqrt{21} ifadesini koyun.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Sadeleştirin. x=-\sqrt{21} değeri denklemi karşılamıyor çünkü sol ve sağ taraf zıt işaretlere sahip.

$$-4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 denkleminde x yerine \sqrt{21} ifadesini koyun.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Sadeleştirin. x=\sqrt{21} değeri denklemi karşılamıyor çünkü sol ve sağ taraf zıt işaretlere sahip.

$$-4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 denkleminde x yerine -\sqrt{11}i ifadesini koyun.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Sadeleştirin. x=-\sqrt{11}i değeri denklemi karşılıyor.

$$4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 denkleminde x yerine \sqrt{11}i ifadesini koyun.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Sadeleştirin. x=\sqrt{11}i değeri denklemi karşılıyor.

$$4=4$$

Tüm \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 çözümlerini listeleyin.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$