sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2 Denklemini Çözme

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

x için çözün

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Çözüm Adımları

Denklemin her iki tarafından -\sqrt{19-x^{2}} çıkarın.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{15+x^{2}} kuvvetini hesaplayarak 15+x^{2} sonucunu bulun.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{19-x^{2}} kuvvetini hesaplayarak 19-x^{2} sonucunu bulun.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

4 ve 19 sayılarını toplayarak 23 sonucunu bulun.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Denklemin her iki tarafından 23-x^{2} çıkarın.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

23-x^{2} tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

15 sayısından 23 sayısını çıkarıp -8 sonucunu bulun.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 2x^{2} sonucunu elde edin.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-8+2x^{2}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Bir sayının üssünün başka bir sayıya üssünü almak için üsleri çarpın. 2 ile 2 çarpıldığında 4 elde edilir.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} üssünü genişlet.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının 4 kuvvetini hesaplayarak 16 sonucunu bulun.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 sayısının \sqrt{19-x^{2}} kuvvetini hesaplayarak 19-x^{2} sonucunu bulun.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

16 sayısını 19-x^{2} ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Her iki taraftan 304 sayısını çıkarın.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

64 sayısından 304 sayısını çıkarıp -240 sonucunu bulun.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Her iki tarafa 16x^{2} ekleyin.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

-32x^{2} ve 16x^{2} terimlerini birleştirerek -16x^{2} sonucunu elde edin.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2} değerini t ile değiştirin.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 4, b için -16 ve c için -240 kullanın.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Hesaplamaları yapın.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

± artı ve ± eksi olduğunda t=\frac{16±64}{8} denklemini çözün.

$$t=10 t=-6$$

x=t^{2} bu yana, çözümler pozitif t için x=±\sqrt{t} değerlendirilerek elde edilir.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

\sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 denkleminde x yerine \sqrt{10} ifadesini koyun.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Sadeleştirin. x=\sqrt{10} değeri denklemi karşılıyor.

$$2=2$$

\sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 denkleminde x yerine -\sqrt{10} ifadesini koyun.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Sadeleştirin. x=-\sqrt{10} değeri denklemi karşılıyor.

$$2=2$$

Tüm \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 çözümlerini listeleyin.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$