quadtext{17}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2 Denklemini Çözme

$$\quad \text { 17 } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3,096774194-1,520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3,096774194+1,520925837i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -3,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x+3,x-3,2 sayılarının en küçük ortak katı olan 2\left(x-3\right)\left(x+3\right) ile çarpın.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

17 sayısını 2x-6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

34x-102 ile x-3 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

2x+6 ile x+3 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

34x^{2} ve 2x^{2} terimlerini birleştirerek 36x^{2} sonucunu elde edin.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

-204x ve 12x terimlerini birleştirerek -192x sonucunu elde edin.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

306 ve 18 sayılarını toplayarak 324 sonucunu bulun.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

2 ve 2 sayılarını çarparak 4 sonucunu bulun.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

4 ve 1 sayılarını toplayarak 5 sonucunu bulun.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

x^{2}-9 sayısını 5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Her iki taraftan 5x^{2} sayısını çıkarın.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

36x^{2} ve -5x^{2} terimlerini birleştirerek 31x^{2} sonucunu elde edin.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Her iki tarafa 45 ekleyin.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

324 ve 45 sayılarını toplayarak 369 sonucunu bulun.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 31, b yerine -192 ve c yerine 369 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

-192 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

-4 ile 31 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

-124 ile 369 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

-45756 ile 36864 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

-8892 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

-192 sayısının tersi: 192.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

2 ile 31 sayısını çarpın.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} denklemini çözün. 6i\sqrt{247} ile 192 sayısını toplayın.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

192+6i\sqrt{247} sayısını 62 ile bölün.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} denklemini çözün. 6i\sqrt{247} sayısını 192 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

192-6i\sqrt{247} sayısını 62 ile bölün.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -3,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x+3,x-3,2 sayılarının en küçük ortak katı olan 2\left(x-3\right)\left(x+3\right) ile çarpın.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

17 sayısını 2x-6 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

34x-102 ile x-3 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

2x+6 ile x+3 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

34x^{2} ve 2x^{2} terimlerini birleştirerek 36x^{2} sonucunu elde edin.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

-204x ve 12x terimlerini birleştirerek -192x sonucunu elde edin.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

306 ve 18 sayılarını toplayarak 324 sonucunu bulun.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

2 ve 2 sayılarını çarparak 4 sonucunu bulun.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

4 ve 1 sayılarını toplayarak 5 sonucunu bulun.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

x^{2}-9 sayısını 5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Her iki taraftan 5x^{2} sayısını çıkarın.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

36x^{2} ve -5x^{2} terimlerini birleştirerek 31x^{2} sonucunu elde edin.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Her iki taraftan 324 sayısını çıkarın.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

-45 sayısından 324 sayısını çıkarıp -369 sonucunu bulun.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Her iki tarafı 31 ile bölün.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

31 ile bölme, 31 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{192}{31} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{96}{31} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{96}{31} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

-\frac{96}{31} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{369}{31} ile \frac{9216}{961} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Faktör x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{96}{31} ekleyin.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$