{x=5-y}{7x+3y=47} Denklemini Çözme

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y için çözün

$$x=8$$

$$y=-3$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki tarafa y ekleyin.

$$x+y=5$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$x+y=5$$

Denklemin her iki tarafından y çıkarın.

$$x=-y+5$$

Diğer 7x+3y=47 denkleminde, x yerine -y+5 koyun.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

7 ile -y+5 sayısını çarpın.

$$-7y+35+3y=47$$

3y ile -7y sayısını toplayın.

$$-4y+35=47$$

Denklemin her iki tarafından 35 çıkarın.

$$-4y=12$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$y=-3$$

x=-y+5 içinde y yerine -3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

-1 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=3+5$$

3 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=8$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=8,y=-3$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki tarafa y ekleyin.

$$x+y=5$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=8,y=-3$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki tarafa y ekleyin.

$$x+y=5$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

x ve 7x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 7 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 1 ile çarpın.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Sadeleştirin.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 7x+3y=47 denklemini 7x+7y=35 denkleminden çıkarın.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

-7x ile 7x sayısını toplayın. 7x ve -7x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$7y-3y=35-47$$

-3y ile 7y sayısını toplayın.

$$4y=35-47$$

-47 ile 35 sayısını toplayın.

$$4y=-12$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$y=-3$$

7x+3y=47 içinde y yerine -3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

3 ile -3 sayısını çarpın.

$$7x-9=47$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$7x=56$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$x=8$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=8,y=-3$$