{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x} Denklemini Çözme

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y için çözün

$$x=1$$

$$y=-3$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. 3 sayısını 1+y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x+2y=3+3y+1$$

3 ve 1 sayılarını toplayarak 4 sonucunu bulun.

$$x+2y=4+3y$$

Her iki taraftan 3y sayısını çıkarın.

$$x+2y-3y=4$$

2y ve -3y terimlerini birleştirerek -y sonucunu elde edin.

$$x-y=4$$

İkinci denklemi inceleyin. 2 sayısını 1-y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$8-y=2-2y+3x$$

Her iki tarafa 2y ekleyin.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y ve 2y terimlerini birleştirerek y sonucunu elde edin.

$$8+y=2+3x$$

Her iki taraftan 3x sayısını çıkarın.

$$8+y-3x=2$$

Her iki taraftan 8 sayısını çıkarın.

$$y-3x=2-8$$

2 sayısından 8 sayısını çıkarıp -6 sonucunu bulun.

$$y-3x=-6$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$x-y=4$$

Denklemin her iki tarafına y ekleyin.

$$x=y+4$$

Diğer -3x+y=-6 denkleminde, x yerine y+4 koyun.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

-3 ile y+4 sayısını çarpın.

$$-3y-12+y=-6$$

y ile -3y sayısını toplayın.

$$-2y-12=-6$$

Denklemin her iki tarafına 12 ekleyin.

$$-2y=6$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$y=-3$$

x=y+4 içinde y yerine -3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-3+4$$

-3 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=1$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=1,y=-3$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. 3 sayısını 1+y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x+2y=3+3y+1$$

3 ve 1 sayılarını toplayarak 4 sonucunu bulun.

$$x+2y=4+3y$$

Her iki taraftan 3y sayısını çıkarın.

$$x+2y-3y=4$$

2y ve -3y terimlerini birleştirerek -y sonucunu elde edin.

$$x-y=4$$

İkinci denklemi inceleyin. 2 sayısını 1-y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$8-y=2-2y+3x$$

Her iki tarafa 2y ekleyin.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y ve 2y terimlerini birleştirerek y sonucunu elde edin.

$$8+y=2+3x$$

Her iki taraftan 3x sayısını çıkarın.

$$8+y-3x=2$$

Her iki taraftan 8 sayısını çıkarın.

$$y-3x=2-8$$

2 sayısından 8 sayısını çıkarıp -6 sonucunu bulun.

$$y-3x=-6$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=1,y=-3$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. 3 sayısını 1+y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x+2y=3+3y+1$$

3 ve 1 sayılarını toplayarak 4 sonucunu bulun.

$$x+2y=4+3y$$

Her iki taraftan 3y sayısını çıkarın.

$$x+2y-3y=4$$

2y ve -3y terimlerini birleştirerek -y sonucunu elde edin.

$$x-y=4$$

İkinci denklemi inceleyin. 2 sayısını 1-y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$8-y=2-2y+3x$$

Her iki tarafa 2y ekleyin.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y ve 2y terimlerini birleştirerek y sonucunu elde edin.

$$8+y=2+3x$$

Her iki taraftan 3x sayısını çıkarın.

$$8+y-3x=2$$

Her iki taraftan 8 sayısını çıkarın.

$$y-3x=2-8$$

2 sayısından 8 sayısını çıkarıp -6 sonucunu bulun.

$$y-3x=-6$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x ve -3x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını -3 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 1 ile çarpın.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Sadeleştirin.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak -3x+y=-6 denklemini -3x+3y=-12 denkleminden çıkarın.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

3x ile -3x sayısını toplayın. -3x ve 3x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$3y-y=-12+6$$

-y ile 3y sayısını toplayın.

$$2y=-12+6$$

6 ile -12 sayısını toplayın.

$$2y=-6$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$y=-3$$

-3x+y=-6 içinde y yerine -3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$-3x-3=-6$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$-3x=-3$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$x=1$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=1,y=-3$$