{l}{x+y=90}{x+36=3y} Denklemini Çözme

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

x, y için çözün

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

İkinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 3y sayısını çıkarın.

$$x+36-3y=0$$

Her iki taraftan 36 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$x-3y=-36$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$x+y=90$$

Denklemin her iki tarafından y çıkarın.

$$x=-y+90$$

Diğer x-3y=-36 denkleminde, x yerine -y+90 koyun.

$$-y+90-3y=-36$$

-3y ile -y sayısını toplayın.

$$-4y+90=-36$$

Denklemin her iki tarafından 90 çıkarın.

$$-4y=-126$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$y=\frac{63}{2}$$

x=-y+90 içinde y yerine \frac{63}{2} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

-\frac{63}{2} ile 90 sayısını toplayın.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

İkinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 3y sayısını çıkarın.

$$x+36-3y=0$$

Her iki taraftan 36 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$x-3y=-36$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

İkinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 3y sayısını çıkarın.

$$x+36-3y=0$$

Her iki taraftan 36 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$x-3y=-36$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak x-3y=-36 denklemini x+y=90 denkleminden çıkarın.

$$x-x+y+3y=90+36$$

-x ile x sayısını toplayın. x ve -x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$y+3y=90+36$$

3y ile y sayısını toplayın.

$$4y=90+36$$

36 ile 90 sayısını toplayın.

$$4y=126$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$y=\frac{63}{2}$$

x-3y=-36 içinde y yerine \frac{63}{2} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

-3 ile \frac{63}{2} sayısını çarpın.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Denklemin her iki tarafına \frac{189}{2} ekleyin.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$