x, y için çözün
x=1
y=3
Grafik
Paylaş
Panoya kopyalandı
4x+y=7,3x+2y=9
Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.
4x+y=7
Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.
4x=-y+7
Denklemin her iki tarafından y çıkarın.
x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)
Her iki tarafı 4 ile bölün.
x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}
\frac{1}{4} ile -y+7 sayısını çarpın.
3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9
Diğer 3x+2y=9 denkleminde, x yerine \frac{-y+7}{4} koyun.
-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9
3 ile \frac{-y+7}{4} sayısını çarpın.
\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9
2y ile -\frac{3y}{4} sayısını toplayın.
\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}
Denklemin her iki tarafından \frac{21}{4} çıkarın.
y=3
Denklemin her iki tarafını \frac{5}{4} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.
x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}
x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4} içinde y yerine 3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.
x=\frac{-3+7}{4}
-\frac{1}{4} ile 3 sayısını çarpın.
x=1
Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{4} ile -\frac{3}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.
x=1,y=3
Sistem şimdi çözüldü.
4x+y=7,3x+2y=9
Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.
\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)
Denklemleri matris biçiminde yazın.
inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)
Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)
Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)
Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)
2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)
Hesaplamayı yapın.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)
Matrisleri çarpın.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)
Hesaplamayı yapın.
x=1,y=3
x ve y matris öğelerini çıkartın.
4x+y=7,3x+2y=9
Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.
3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9
4x ve 3x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 3 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 4 ile çarpın.
12x+3y=21,12x+8y=36
Sadeleştirin.
12x-12x+3y-8y=21-36
Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 12x+8y=36 denklemini 12x+3y=21 denkleminden çıkarın.
3y-8y=21-36
-12x ile 12x sayısını toplayın. 12x ve -12x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.
-5y=21-36
-8y ile 3y sayısını toplayın.
-5y=-15
-36 ile 21 sayısını toplayın.
y=3
Her iki tarafı -5 ile bölün.
3x+2\times 3=9
3x+2y=9 içinde y yerine 3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.
3x+6=9
2 ile 3 sayısını çarpın.
3x=3
Denklemin her iki tarafından 6 çıkarın.
x=1
Her iki tarafı 3 ile bölün.
x=1,y=3
Sistem şimdi çözüldü.
Örnekler
İkinci dereceden denklem
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometri
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Doğrusal denklem
y = 3x + 4
Aritmetik
699 * 533
Matris
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Eş zamanlı denklem
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Türevleme
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
İntegralleme
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitler
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}