{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} Denklemini Çözme

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 için çözün

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Denklemlerden birini seçip x_{1} terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x_{1} için çözün.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Denklemin her iki tarafından 3x_{2} çıkarın.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2} ile -3x_{2}+7 sayısını çarpın.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Diğer 4x_{1}-4x_{2}=-6 denkleminde, x_{1} yerine \frac{-3x_{2}+7}{2} koyun.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4 ile \frac{-3x_{2}+7}{2} sayısını çarpın.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-4x_{2} ile -6x_{2} sayısını toplayın.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Denklemin her iki tarafından 14 çıkarın.

$$-10x_{2}=-20$$

Her iki tarafı -10 ile bölün.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} içinde x_{2} yerine 2 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x_{1} için çözebilirsiniz.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2} ile 2 sayısını çarpın.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

-3 ile \frac{7}{2} sayısını toplayın.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

x_{1} ve x_{2} matris öğelerini çıkartın.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} ve 4x_{1} terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 4 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 2 ile çarpın.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Sadeleştirin.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 8x_{1}-8x_{2}=-12 denklemini 8x_{1}+12x_{2}=28 denkleminden çıkarın.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

-8x_{1} ile 8x_{1} sayısını toplayın. 8x_{1} ve -8x_{1} terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{2} ile 12x_{2} sayısını toplayın.

$$20x_{2}=28+12$$

12 ile 28 sayısını toplayın.

$$20x_{2}=40$$

Her iki tarafı 20 ile bölün.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 içinde x_{2} yerine 2 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x_{1} için çözebilirsiniz.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$4x_{1}-8=-6$$

Denklemin her iki tarafına 8 ekleyin.

$$4x_{1}=2$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$