{l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127} Denklemini Çözme

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y için çözün

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$2x+5y=259$$

Denklemin her iki tarafından 5y çıkarın.

$$2x=-5y+259$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2} ile -5y+259 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Diğer 199x-2y=1127 denkleminde, x yerine \frac{-5y+259}{2} koyun.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199 ile \frac{-5y+259}{2} sayısını çarpın.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-2y ile -\frac{995y}{2} sayısını toplayın.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Denklemin her iki tarafından \frac{51541}{2} çıkarın.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Denklemin her iki tarafını -\frac{999}{2} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.

$$y=\frac{16429}{333}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} içinde y yerine \frac{16429}{333} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak -\frac{5}{2} ile \frac{16429}{333} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{259}{2} ile -\frac{82145}{666} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x ve 199x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 199 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 2 ile çarpın.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Sadeleştirin.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 398x-4y=2254 denklemini 398x+995y=51541 denkleminden çıkarın.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

-398x ile 398x sayısını toplayın. 398x ve -398x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$995y+4y=51541-2254$$

4y ile 995y sayısını toplayın.

$$999y=51541-2254$$

-2254 ile 51541 sayısını toplayın.

$$999y=49287$$

Her iki tarafı 999 ile bölün.

$$y=\frac{16429}{333}$$

199x-2y=1127 içinde y yerine \frac{16429}{333} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2 ile \frac{16429}{333} sayısını çarpın.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Denklemin her iki tarafına \frac{32858}{333} ekleyin.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Her iki tarafı 199 ile bölün.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$