{l}{2x+3y=10}{4x+5y=42} Denklemini Çözme

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y için çözün

$$x=38$$

$$y=-22$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$2x+3y=10$$

Denklemin her iki tarafından 3y çıkarın.

$$2x=-3y+10$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{2} ile -3y+10 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Diğer 4x+5y=42 denkleminde, x yerine -\frac{3y}{2}+5 koyun.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

4 ile -\frac{3y}{2}+5 sayısını çarpın.

$$-6y+20+5y=42$$

5y ile -6y sayısını toplayın.

$$-y+20=42$$

Denklemin her iki tarafından 20 çıkarın.

$$-y=22$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$y=-22$$

x=-\frac{3}{2}y+5 içinde y yerine -22 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

-\frac{3}{2} ile -22 sayısını çarpın.

$$x=33+5$$

33 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=38$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=38,y=-22$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=38,y=-22$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

2x ve 4x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 4 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 2 ile çarpın.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Sadeleştirin.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 8x+10y=84 denklemini 8x+12y=40 denkleminden çıkarın.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

-8x ile 8x sayısını toplayın. 8x ve -8x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$12y-10y=40-84$$

-10y ile 12y sayısını toplayın.

$$2y=40-84$$

-84 ile 40 sayısını toplayın.

$$2y=-44$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$y=-22$$

4x+5y=42 içinde y yerine -22 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

5 ile -22 sayısını çarpın.

$$4x-110=42$$

Denklemin her iki tarafına 110 ekleyin.

$$4x=152$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x=38$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=38,y=-22$$