{l}{13x+20y=48}{20x+93y=1} Denklemini Çözme

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y için çözün

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$13x+20y=48$$

Denklemin her iki tarafından 20y çıkarın.

$$13x=-20y+48$$

Her iki tarafı 13 ile bölün.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

\frac{1}{13} ile -20y+48 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Diğer 20x+93y=1 denkleminde, x yerine \frac{-20y+48}{13} koyun.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

20 ile \frac{-20y+48}{13} sayısını çarpın.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

93y ile -\frac{400y}{13} sayısını toplayın.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Denklemin her iki tarafından \frac{960}{13} çıkarın.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Denklemin her iki tarafını \frac{809}{13} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.

$$y=-\frac{947}{809}$$

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13} içinde y yerine -\frac{947}{809} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak -\frac{20}{13} ile -\frac{947}{809} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{48}{13} ile \frac{18940}{10517} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x ve 20x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 20 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 13 ile çarpın.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Sadeleştirin.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 260x+1209y=13 denklemini 260x+400y=960 denkleminden çıkarın.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

-260x ile 260x sayısını toplayın. 260x ve -260x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$400y-1209y=960-13$$

-1209y ile 400y sayısını toplayın.

$$-809y=960-13$$

-13 ile 960 sayısını toplayın.

$$-809y=947$$

Her iki tarafı -809 ile bölün.

$$y=-\frac{947}{809}$$

20x+93y=1 içinde y yerine -\frac{947}{809} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

93 ile -\frac{947}{809} sayısını çarpın.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Denklemin her iki tarafına \frac{88071}{809} ekleyin.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Her iki tarafı 20 ile bölün.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$