\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.
x, y için çözün
x=1
y=-1
Grafik
Paylaş
Panoya kopyalandı
2x-3y=5,3x-2y=5
Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.
2x-3y=5
Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.
2x=3y+5
Denklemin her iki tarafına 3y ekleyin.
x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)
Her iki tarafı 2 ile bölün.
x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}
\frac{1}{2} ile 3y+5 sayısını çarpın.
3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5
Diğer 3x-2y=5 denkleminde, x yerine \frac{3y+5}{2} koyun.
\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5
3 ile \frac{3y+5}{2} sayısını çarpın.
\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5
-2y ile \frac{9y}{2} sayısını toplayın.
\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}
Denklemin her iki tarafından \frac{15}{2} çıkarın.
y=-1
Denklemin her iki tarafını \frac{5}{2} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.
x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}
x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} içinde y yerine -1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.
x=\frac{-3+5}{2}
\frac{3}{2} ile -1 sayısını çarpın.
x=1
Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{2} ile -\frac{3}{2} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.
x=1,y=-1
Sistem şimdi çözüldü.
2x-3y=5,3x-2y=5
Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.
\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)
Denklemleri matris biçiminde yazın.
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)
Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)
Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)
Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)
2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)
Hesaplamayı yapın.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)
Matrisleri çarpın.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
Hesaplamayı yapın.
x=1,y=-1
x ve y matris öğelerini çıkartın.
2x-3y=5,3x-2y=5
Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.
3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5
2x ve 3x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 3 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 2 ile çarpın.
6x-9y=15,6x-4y=10
Sadeleştirin.
6x-6x-9y+4y=15-10
Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 6x-4y=10 denklemini 6x-9y=15 denkleminden çıkarın.
-9y+4y=15-10
-6x ile 6x sayısını toplayın. 6x ve -6x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.
-5y=15-10
4y ile -9y sayısını toplayın.
-5y=5
-10 ile 15 sayısını toplayın.
y=-1
Her iki tarafı -5 ile bölün.
3x-2\left(-1\right)=5
3x-2y=5 içinde y yerine -1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.
3x+2=5
-2 ile -1 sayısını çarpın.
3x=3
Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.
x=1
Her iki tarafı 3 ile bölün.
x=1,y=-1
Sistem şimdi çözüldü.
Örnekler
İkinci dereceden denklem
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometri
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Doğrusal denklem
y = 3x + 4
Aritmetik
699 * 533
Matris
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Eş zamanlı denklem
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Türevleme
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
İntegralleme
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitler
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}