{l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640} Denklemini Çözme

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

x, y için çözün

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$2x+4y=2060$$

Denklemin her iki tarafından 4y çıkarın.

$$2x=-4y+2060$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

\frac{1}{2} ile -4y+2060 sayısını çarpın.

$$x=-2y+1030$$

Diğer 5x+7y=1640 denkleminde, x yerine -2y+1030 koyun.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

5 ile -2y+1030 sayısını çarpın.

$$-10y+5150+7y=1640$$

7y ile -10y sayısını toplayın.

$$-3y+5150=1640$$

Denklemin her iki tarafından 5150 çıkarın.

$$-3y=-3510$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$y=1170$$

x=-2y+1030 içinde y yerine 1170 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-2\times 1170+1030$$

-2 ile 1170 sayısını çarpın.

$$x=-2340+1030$$

-2340 ile 1030 sayısını toplayın.

$$x=-1310$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=-1310,y=1170$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=-1310,y=1170$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

2x ve 5x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 5 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 2 ile çarpın.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Sadeleştirin.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 10x+14y=3280 denklemini 10x+20y=10300 denkleminden çıkarın.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

-10x ile 10x sayısını toplayın. 10x ve -10x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$20y-14y=10300-3280$$

-14y ile 20y sayısını toplayın.

$$6y=10300-3280$$

-3280 ile 10300 sayısını toplayın.

$$6y=7020$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$y=1170$$

5x+7y=1640 içinde y yerine 1170 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$5x+7\times 1170=1640$$

7 ile 1170 sayısını çarpın.

$$5x+8190=1640$$

Denklemin her iki tarafından 8190 çıkarın.

$$5x=-6550$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$x=-1310$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=-1310,y=1170$$