{l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19} Denklemini Çözme

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y için çözün (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$2ax+by=14$$

Denklemin her iki tarafından by çıkarın.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Her iki tarafı 2a ile bölün.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} ile -by+14 sayısını çarpın.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Diğer -2x+9y=-19 denkleminde, x yerine \frac{-by+14}{2a} koyun.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 ile \frac{-by+14}{2a} sayısını çarpın.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9y ile \frac{by}{a} sayısını toplayın.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Denklemin her iki tarafına \frac{14}{a} ekleyin.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Her iki tarafı 9+\frac{b}{a} ile bölün.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} içinde y yerine \frac{14-19a}{9a+b} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} ile \frac{14-19a}{9a+b} sayısını çarpın.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} ile \frac{7}{a} sayısını toplayın.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax ve -2x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını -2 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 2a ile çarpın.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Sadeleştirin.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak \left(-4a\right)x+18ay=-38a denklemini \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 denkleminden çıkarın.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4ax ile -4ax sayısını toplayın. -4ax ve 4ax terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ay ile -2by sayısını toplayın.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38a ile -28 sayısını toplayın.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Her iki tarafı -2b-18a ile bölün.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19 içinde y yerine -\frac{-14+19a}{b+9a} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 ile -\frac{-14+19a}{b+9a} sayısını çarpın.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Denklemin her iki tarafına \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ekleyin.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

x, y için çözün

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$2ax+by=14$$

Denklemin her iki tarafından by çıkarın.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Her iki tarafı 2a ile bölün.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} ile -by+14 sayısını çarpın.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Diğer -2x+9y=-19 denkleminde, x yerine \frac{-by+14}{2a} koyun.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 ile \frac{-by+14}{2a} sayısını çarpın.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9y ile \frac{by}{a} sayısını toplayın.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Denklemin her iki tarafına \frac{14}{a} ekleyin.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Her iki tarafı 9+\frac{b}{a} ile bölün.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} içinde y yerine \frac{14-19a}{9a+b} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} ile \frac{14-19a}{9a+b} sayısını çarpın.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} ile \frac{7}{a} sayısını toplayın.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi, bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax ve -2x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını -2 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 2a ile çarpın.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Sadeleştirin.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak \left(-4a\right)x+18ay=-38a denklemini \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 denkleminden çıkarın.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4ax ile -4ax sayısını toplayın. -4ax ve 4ax terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ay ile -2by sayısını toplayın.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38a ile -28 sayısını toplayın.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Her iki tarafı -2b-18a ile bölün.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19 içinde y yerine -\frac{-14+19a}{b+9a} koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 ile -\frac{-14+19a}{b+9a} sayısını çarpın.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Denklemin her iki tarafına \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ekleyin.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$