d/dxleft(sin(x)right) Denklemini Çözme

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Hesapla

$$\cos(x)$$

Türev Tanımı Kullanan Adımlar

f\left(x\right) işlevi için türev, h 0'a giderken \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} limitidir (varsa).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Sinüs için Toplam Formülünü kullanın.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

\sin(x) ortak çarpan parantezine alın.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Limiti yeniden yazın.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

h, 0 değerine giderken limitler hesaplanırken x değişkeninin sabit olduğu gerçeğinden yararlanın.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} limiti: 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} limitini hesaplamak için önce payı ve paydayı \cos(h)+1 ile çarpın.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

\cos(h)+1 ile \cos(h)-1 sayısını çarpın.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Pisagor Özdeşliğini kullanın.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Limiti yeniden yazın.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} limiti: 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} ifadesinin 0 değerinde sürekli olduğu gerçeğinden yararlanın.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

0 değerini \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x) ifadesinde yerine koyun.

$$\cos(x)$$

Türevini al: w.r.t. x

$$-\sin(x)$$