x-1/2x+1=2x+1/x-1+3 Denklemini Çözme

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

x için çözün

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -\frac{1}{2},1 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını 2x+1,x-1 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-1\right)\left(2x+1\right) ile çarpın.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

x-1 ve x-1 sayılarını çarparak \left(x-1\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

2x+1 ve 2x+1 sayılarını çarparak \left(2x+1\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

x-1 ile 2x+1 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

2x^{2}-x-1 sayısını 3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

4x^{2} ve 6x^{2} terimlerini birleştirerek 10x^{2} sonucunu elde edin.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

4x ve -3x terimlerini birleştirerek x sonucunu elde edin.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

1 sayısından 3 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Her iki taraftan 10x^{2} sayısını çıkarın.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

x^{2} ve -10x^{2} terimlerini birleştirerek -9x^{2} sonucunu elde edin.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Her iki taraftan x sayısını çıkarın.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

-2x ve -x terimlerini birleştirerek -3x sonucunu elde edin.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Her iki tarafa 2 ekleyin.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

1 ve 2 sayılarını toplayarak 3 sonucunu bulun.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine -9, b yerine -3 ve c yerine 3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

-3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

-4 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

36 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

108 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

117 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

2 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} denklemini çözün. 3\sqrt{13} ile 3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

3+3\sqrt{13} sayısını -18 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} denklemini çözün. 3\sqrt{13} sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

3-3\sqrt{13} sayısını -18 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -\frac{1}{2},1 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını 2x+1,x-1 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-1\right)\left(2x+1\right) ile çarpın.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

x-1 ve x-1 sayılarını çarparak \left(x-1\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

2x+1 ve 2x+1 sayılarını çarparak \left(2x+1\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

x-1 ile 2x+1 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

2x^{2}-x-1 sayısını 3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

4x^{2} ve 6x^{2} terimlerini birleştirerek 10x^{2} sonucunu elde edin.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

4x ve -3x terimlerini birleştirerek x sonucunu elde edin.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

1 sayısından 3 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Her iki taraftan 10x^{2} sayısını çıkarın.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

x^{2} ve -10x^{2} terimlerini birleştirerek -9x^{2} sonucunu elde edin.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Her iki taraftan x sayısını çıkarın.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

-2x ve -x terimlerini birleştirerek -3x sonucunu elde edin.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

-2 sayısından 1 sayısını çıkarıp -3 sonucunu bulun.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Her iki tarafı -9 ile bölün.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

-9 ile bölme, -9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-3}{-9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-3}{-9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

\frac{1}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{3} ile \frac{1}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{6} çıkarın.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$