2x+1/x+4x/2x+1=5 Denklemini Çözme

$$\frac{ 2x+1 }{ x } + \frac{ 4x }{ 2x+1 } =5$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -\frac{1}{2},0 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x,2x+1 sayılarının en küçük ortak katı olan x\left(2x+1\right) ile çarpın.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

2x+1 ve 2x+1 sayılarını çarparak \left(2x+1\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

x ve x sayılarını çarparak x^{2} sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

4x^{2} ve x^{2}\times 4 terimlerini birleştirerek 8x^{2} sonucunu elde edin.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

5x sayısını 2x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Her iki taraftan 10x^{2} sayısını çıkarın.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

8x^{2} ve -10x^{2} terimlerini birleştirerek -2x^{2} sonucunu elde edin.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Her iki taraftan 5x sayısını çıkarın.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

4x ve -5x terimlerini birleştirerek -x sonucunu elde edin.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -2x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Bu tür bir çift sistem çözümüdür.

$$a=1 b=-2$$

-2x^{2}-x+1 ifadesini \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-1=0 ve -x-1=0 çözün.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -\frac{1}{2},0 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x,2x+1 sayılarının en küçük ortak katı olan x\left(2x+1\right) ile çarpın.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

2x+1 ve 2x+1 sayılarını çarparak \left(2x+1\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

x ve x sayılarını çarparak x^{2} sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

4x^{2} ve x^{2}\times 4 terimlerini birleştirerek 8x^{2} sonucunu elde edin.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

5x sayısını 2x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Her iki taraftan 10x^{2} sayısını çıkarın.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

8x^{2} ve -10x^{2} terimlerini birleştirerek -2x^{2} sonucunu elde edin.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Her iki taraftan 5x sayısını çıkarın.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

4x ve -5x terimlerini birleştirerek -x sonucunu elde edin.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -2, b yerine -1 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

8 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}$$

2 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{1±3}{-4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{1±3}{-4} denklemini çözün. 3 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4}{-4}$$

4 sayısını -4 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{1±3}{-4} denklemini çözün. 3 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{-4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -\frac{1}{2},0 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x,2x+1 sayılarının en küçük ortak katı olan x\left(2x+1\right) ile çarpın.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

2x+1 ve 2x+1 sayılarını çarparak \left(2x+1\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

\left(2x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

x ve x sayılarını çarparak x^{2} sonucunu bulun.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

4x^{2} ve x^{2}\times 4 terimlerini birleştirerek 8x^{2} sonucunu elde edin.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

5x sayısını 2x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Her iki taraftan 10x^{2} sayısını çıkarın.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

8x^{2} ve -10x^{2} terimlerini birleştirerek -2x^{2} sonucunu elde edin.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Her iki taraftan 5x sayısını çıkarın.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

4x ve -5x terimlerini birleştirerek -x sonucunu elde edin.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$-2x^{2}-x=-1$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

-2 ile bölme, -2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{1}{-2}$$

-1 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

-1 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{2} ile \frac{1}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{4} çıkarın.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$