frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b} Denklemini Çözme

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

b için çözün

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Köklü Denklemleri Çözme Adımları

Payı ve paydayı 2+\sqrt{5} çarparak \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} paydayı korkutun.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

2 sayısının karesi. \sqrt{5} sayısının karesi.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

4 sayısından 5 sayısını çıkarıp -1 sonucunu bulun.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

2+\sqrt{5} ve 2+\sqrt{5} sayılarını çarparak \left(2+\sqrt{5}\right)^{2} sonucunu bulun.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\left(2+\sqrt{5}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} sayısının karesi: 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

4 ve 5 sayılarını toplayarak 9 sonucunu bulun.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Herhangi bir sayının -1'e bölümü bu sayının tersini verir. 9+4\sqrt{5} tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Payı ve paydayı 2-\sqrt{5} çarparak \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} paydayı korkutun.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

2 sayısının karesi. \sqrt{5} sayısının karesi.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

4 sayısından 5 sayısını çıkarıp -1 sonucunu bulun.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

2-\sqrt{5} ve 2-\sqrt{5} sayılarını çarparak \left(2-\sqrt{5}\right)^{2} sonucunu bulun.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\left(2-\sqrt{5}\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} sayısının karesi: 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

4 ve 5 sayılarını toplayarak 9 sonucunu bulun.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Herhangi bir sayının -1'e bölümü bu sayının tersini verir. 9-4\sqrt{5} tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

-9 sayısından 9 sayısını çıkarıp -18 sonucunu bulun.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

-4\sqrt{5} ve 4\sqrt{5} terimlerini birleştirerek 0 sonucunu elde edin.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Tüm değişken terimler sol tarafta kalacak şekilde yer değiştirin.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Her iki taraftan a sayısını çıkarın.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Denklemin her iki tarafının karesini alın.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

a için çözün (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

b için çözün (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

a için çözün

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$