2/x-3+3/x-2=3 Denklemini Çözme

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, 2,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-3,x-2 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-3\right)\left(x-2\right) ile çarpın.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-2 sayısını 2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-3 sayısını 3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

2x ve 3x terimlerini birleştirerek 5x sonucunu elde edin.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-4 sayısından 9 sayısını çıkarıp -13 sonucunu bulun.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

3 sayısını x-3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

3x-9 ile x-2 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Her iki tarafa 15x ekleyin.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

5x ve 15x terimlerini birleştirerek 20x sonucunu elde edin.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Her iki taraftan 18 sayısını çıkarın.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

-13 sayısından 18 sayısını çıkarıp -31 sonucunu bulun.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -3, b yerine 20 ve c yerine -31 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

20 sayısının karesi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 ile -31 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

-372 ile 400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

28 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

2 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} denklemini çözün. 2\sqrt{7} ile -20 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20+2\sqrt{7} sayısını -6 ile bölün.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} denklemini çözün. 2\sqrt{7} sayısını -20 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20-2\sqrt{7} sayısını -6 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, 2,3 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-3,x-2 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-3\right)\left(x-2\right) ile çarpın.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-2 sayısını 2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x-3 sayısını 3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

2x ve 3x terimlerini birleştirerek 5x sonucunu elde edin.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-4 sayısından 9 sayısını çıkarıp -13 sonucunu bulun.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

3 sayısını x-3 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

3x-9 ile x-2 ifadesini çarpmak için dağılma özelliğini kullanın ve benzer terimleri birleştirin.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Her iki tarafa 15x ekleyin.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

5x ve 15x terimlerini birleştirerek 20x sonucunu elde edin.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Her iki tarafa 13 ekleyin.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

18 ve 13 sayılarını toplayarak 31 sonucunu bulun.

$$20x-3x^{2}=31$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

-3 ile bölme, -3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

20 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

31 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{20}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{10}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{10}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

-\frac{10}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{31}{3} ile \frac{100}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{10}{3} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$