x/5=y/4;y/3=x/3-1 Denklemini Çözme

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

x, y için çözün

$$x=15$$

$$y=12$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin iki tarafını 5,4 sayılarının en küçük ortak katı olan 20 ile çarpın.

$$4x=5y$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

\frac{1}{4} ile 5y sayısını çarpın.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Diğer -x+y=-3 denkleminde, x yerine \frac{5y}{4} koyun.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

y ile -\frac{5y}{4} sayısını toplayın.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Her iki tarafı -4 ile çarpın.

$$y=12$$

x=\frac{5}{4}y içinde y yerine 12 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

\frac{5}{4} ile 12 sayısını çarpın.

$$x=15$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=15,y=12$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin iki tarafını 5,4 sayılarının en küçük ortak katı olan 20 ile çarpın.

$$4x=5y$$

Her iki taraftan 5y sayısını çıkarın.

$$4x-5y=0$$

İkinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 3 ile çarpın.

$$y=x-3$$

Her iki taraftan x sayısını çıkarın.

$$y-x=-3$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=15,y=12$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin iki tarafını 5,4 sayılarının en küçük ortak katı olan 20 ile çarpın.

$$4x=5y$$

Her iki taraftan 5y sayısını çıkarın.

$$4x-5y=0$$

İkinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 3 ile çarpın.

$$y=x-3$$

Her iki taraftan x sayısını çıkarın.

$$y-x=-3$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

4x ve -x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını -1 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 4 ile çarpın.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Sadeleştirin.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak -4x+4y=-12 denklemini -4x+5y=0 denkleminden çıkarın.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

4x ile -4x sayısını toplayın. -4x ve 4x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$5y-4y=12$$

-4y ile 5y sayısını toplayın.

$$y=12$$

-x+y=-3 içinde y yerine 12 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$-x+12=-3$$

Denklemin her iki tarafından 12 çıkarın.

$$-x=-15$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$x=15$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=15,y=12$$