f/11=g/33text{siendo}f+g=40 Denklemini Çözme

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

f, g için çözün

$$f=10$$

$$g=30$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin iki tarafını 11,33 sayılarının en küçük ortak katı olan 33 ile çarpın.

$$3f=g$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Diğer f+g=40 denkleminde, f yerine \frac{g}{3} koyun.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

g ile \frac{g}{3} sayısını toplayın.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Denklemin her iki tarafını \frac{4}{3} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.

$$g=30$$

f=\frac{1}{3}g içinde g yerine 30 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan f için çözebilirsiniz.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

\frac{1}{3} ile 30 sayısını çarpın.

$$f=10$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$f=10,g=30$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin iki tarafını 11,33 sayılarının en küçük ortak katı olan 33 ile çarpın.

$$3f=g$$

Her iki taraftan g sayısını çıkarın.

$$3f-g=0$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

f ve g matris öğelerini çıkartın.

$$f=10,g=30$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin iki tarafını 11,33 sayılarının en küçük ortak katı olan 33 ile çarpın.

$$3f=g$$

Her iki taraftan g sayısını çıkarın.

$$3f-g=0$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$3f-g=0,f+g=40$$

3f ve f terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 1 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 3 ile çarpın.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Sadeleştirin.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 3f+3g=120 denklemini 3f-g=0 denkleminden çıkarın.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

-3f ile 3f sayısını toplayın. 3f ve -3f terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$-g-3g=-120$$

-3g ile -g sayısını toplayın.

$$-4g=-120$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$g=30$$

f+g=40 içinde g yerine 30 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan f için çözebilirsiniz.

$$f+30=40$$

Denklemin her iki tarafından 30 çıkarın.

$$f=10$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$f=10,g=30$$