frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4 Denklemini Çözme

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

k için çözün

$$k=-1$$

$$k=1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Denklemin iki tarafını \left(3k^{2}+1\right)^{2},4 sayılarının en küçük ortak katı olan 4\left(3k^{2}+1\right)^{2} ile çarpın.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(k^{2}+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Bir sayının üssünün başka bir sayıya üssünü almak için üsleri çarpın. 2 ile 2 çarpıldığında 4 elde edilir.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

6 sayısını k^{4}+2k^{2}+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(3k^{2}-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Bir sayının üssünün başka bir sayıya üssünü almak için üsleri çarpın. 2 ile 2 çarpıldığında 4 elde edilir.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

9k^{4}-6k^{2}+1 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

6k^{4} ve -9k^{4} terimlerini birleştirerek -3k^{4} sonucunu elde edin.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

12k^{2} ve 6k^{2} terimlerini birleştirerek 18k^{2} sonucunu elde edin.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

6 sayısından 1 sayısını çıkarıp 5 sonucunu bulun.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

4 sayısını -3k^{4}+18k^{2}+5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(3k^{2}+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Bir sayının üssünün başka bir sayıya üssünü almak için üsleri çarpın. 2 ile 2 çarpıldığında 4 elde edilir.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

5 sayısını 9k^{4}+6k^{2}+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Her iki taraftan 45k^{4} sayısını çıkarın.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

-12k^{4} ve -45k^{4} terimlerini birleştirerek -57k^{4} sonucunu elde edin.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Her iki taraftan 30k^{2} sayısını çıkarın.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

72k^{2} ve -30k^{2} terimlerini birleştirerek 42k^{2} sonucunu elde edin.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Her iki taraftan 5 sayısını çıkarın.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

20 sayısından 5 sayısını çıkarıp 15 sonucunu bulun.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

k^{2} değerini t ile değiştirin.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için -57, b için 42 ve c için 15 kullanın.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

± artı ve ± eksi olduğunda t=\frac{-42±72}{-114} denklemini çözün.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

k=t^{2} bu yana, çözümler pozitif t için k=±\sqrt{t} değerlendirilerek elde edilir.

$$k=1 k=-1$$

k için çözün (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0,512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0,512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$