3x/2+y=11;x+y/2=7 Denklemini Çözme

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

x, y için çözün

$$x=6$$

$$y=2$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın.

$$3x+2y=22$$

İkinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın.

$$2x+y=14$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$3x+2y=22$$

Denklemin her iki tarafından 2y çıkarın.

$$3x=-2y+22$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

\frac{1}{3} ile -2y+22 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Diğer 2x+y=14 denkleminde, x yerine \frac{-2y+22}{3} koyun.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

2 ile \frac{-2y+22}{3} sayısını çarpın.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

y ile -\frac{4y}{3} sayısını toplayın.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Denklemin her iki tarafından \frac{44}{3} çıkarın.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Her iki tarafı -3 ile çarpın.

$$y=2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3} içinde y yerine 2 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

-\frac{2}{3} ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{22}{3} ile -\frac{4}{3} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x=6$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=6,y=2$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın.

$$3x+2y=22$$

İkinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın.

$$2x+y=14$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=6,y=2$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın.

$$3x+2y=22$$

İkinci denklemi inceleyin. Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın.

$$2x+y=14$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

3x ve 2x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 3 ile çarpın.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Sadeleştirin.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 6x+3y=42 denklemini 6x+4y=44 denkleminden çıkarın.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

-6x ile 6x sayısını toplayın. 6x ve -6x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$4y-3y=44-42$$

-3y ile 4y sayısını toplayın.

$$y=44-42$$

-42 ile 44 sayısını toplayın.

$$y=2$$

2x+y=14 içinde y yerine 2 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$2x+2=14$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$2x=12$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$x=6$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=6,y=2$$