2x+1/x=4x Denklemini Çözme

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

x için çözün

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, 0 değerine eşit olamaz. Denklemin her iki tarafını x ile çarpın.

$$2x+1=4xx$$

x ve x sayılarını çarparak x^{2} sonucunu bulun.

$$2x+1=4x^{2}$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -4, b yerine 2 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

16 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

20 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

2 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} denklemini çözün. 2\sqrt{5} ile -2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

-2+2\sqrt{5} sayısını -8 ile bölün.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} denklemini çözün. 2\sqrt{5} sayısını -2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

-2-2\sqrt{5} sayısını -8 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, 0 değerine eşit olamaz. Denklemin her iki tarafını x ile çarpın.

$$2x+1=4xx$$

x ve x sayılarını çarparak x^{2} sonucunu bulun.

$$2x+1=4x^{2}$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

-4 ile bölme, -4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{-4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

-1 sayısını -4 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{4} ile \frac{1}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$