1/x-2-4/x^2-4=1 Denklemini Çözme

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

x için çözün

$$x=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -2,2 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-2,x^{2}-4 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-2\right)\left(x+2\right) ile çarpın.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

2 sayısından 4 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

\left(x-2\right)\left(x+2\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 2 sayısının karesi.

$$x-2=x^{2}-4$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Her iki tarafa 4 ekleyin.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

-2 ve 4 sayılarını toplayarak 2 sonucunu bulun.

$$x+2-x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx+2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Bu tür bir çift sistem çözümüdür.

$$a=2 b=-1$$

-x^{2}+x+2 ifadesini \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve -x-1=0 çözün.

$$x=2 x=-1$$

x değişkeni 2 değerine eşit olamaz.

$$x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -2,2 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-2,x^{2}-4 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-2\right)\left(x+2\right) ile çarpın.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

2 sayısından 4 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

\left(x-2\right)\left(x+2\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 2 sayısının karesi.

$$x-2=x^{2}-4$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Her iki tarafa 4 ekleyin.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

-2 ve 4 sayılarını toplayarak 2 sonucunu bulun.

$$x+2-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 1 ve c yerine 2 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

8 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±3}{-2} denklemini çözün. 3 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 sayısını -2 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±3}{-2} denklemini çözün. 3 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-4 sayısını -2 ile bölün.

$$x=2$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=2$$

x değişkeni 2 değerine eşit olamaz.

$$x=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -2,2 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x-2,x^{2}-4 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-2\right)\left(x+2\right) ile çarpın.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

2 sayısından 4 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

\left(x-2\right)\left(x+2\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 2 sayısının karesi.

$$x-2=x^{2}-4$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Her iki tarafa 2 ekleyin.

$$x-x^{2}=-4+2$$

-4 ve 2 sayılarını toplayarak -2 sonucunu bulun.

$$x-x^{2}=-2$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+x=-2$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

1 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

-2 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-x=2$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 2 sayısını toplayın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktör x^{2}-x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=2 x=-1$$

x değişkeni 2 değerine eşit olamaz.

$$x=-1$$