1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1 Denklemini Çözme

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -1,1 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x+1,x-1,x^{2}-1 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-1\right)\left(x+1\right) ile çarpın.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

x+1 sayısını 2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

x ve 2x terimlerini birleştirerek 3x sonucunu elde edin.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

-1 ve 2 sayılarını toplayarak 1 sonucunu bulun.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

3x ve -2x terimlerini birleştirerek x sonucunu elde edin.

$$x+1-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 1 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} denklemini çözün. \sqrt{5} ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1+\sqrt{5} sayısını -2 ile bölün.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} denklemini çözün. \sqrt{5} sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1-\sqrt{5} sayısını -2 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Sıfıra bölünme tanımlı olmadığından x değişkeni, -1,1 değerlerinden herhangi birine eşit olamaz. Denklemin iki tarafını x+1,x-1,x^{2}-1 sayılarının en küçük ortak katı olan \left(x-1\right)\left(x+1\right) ile çarpın.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

x+1 sayısını 2 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

x ve 2x terimlerini birleştirerek 3x sonucunu elde edin.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

-1 ve 2 sayılarını toplayarak 1 sonucunu bulun.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Her iki taraftan 2x sayısını çıkarın.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

3x ve -2x terimlerini birleştirerek x sonucunu elde edin.

$$x+1-x^{2}=0$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$x-x^{2}=-1$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+x=-1$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

1 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

-1 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-x=1$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 1 sayısını toplayın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktör x^{2}-x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$