{l}{x=5y+5}{6x-4y=7} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-5y=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$x=5y+5$$

మరొక సమీకరణములో xను 5+5y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

6 సార్లు 5+5yని గుణించండి.

$$30y+30-4y=7$$

-4yకు 30yని కూడండి.

$$26y+30=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$26y=-23$$

రెండు వైపులా 26తో భాగించండి.

$$y=-\frac{23}{26}$$

x=5y+5లో yను -\frac{23}{26} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

5 సార్లు -\frac{23}{26}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

-\frac{115}{26}కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{15}{26}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5y=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5y=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x-4y=7ని 6x-30y=30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-30y+4y=30-7$$

4yకు -30yని కూడండి.

$$-26y=30-7$$

-7కు 30ని కూడండి.

$$-26y=23$$

రెండు వైపులా -26తో భాగించండి.

$$y=-\frac{23}{26}$$

6x-4y=7లో yను -\frac{23}{26} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

-4 సార్లు -\frac{23}{26}ని గుణించండి.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{46}{13}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=\frac{45}{13}$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{15}{26}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$