Zgjidh {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$x-5y=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-5y=5$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=5y+5$$

Zëvendëso x me 5+5y në ekuacionin tjetër, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Shumëzo 6 herë 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Mblidh 30y me -4y.

$$26y+30=7$$

Zbrit 30 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$26y=-23$$

Pjesëto të dyja anët me 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Zëvendëso y me -\frac{23}{26} në x=5y+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Shumëzo 5 herë -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Mblidh 5 me -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$x-5y=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$x-5y=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Për ta bërë x të barabartë me 6x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Thjeshto.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Zbrit 6x-4y=7 nga 6x-30y=30 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-30y+4y=30-7$$

Mblidh -30y me 4y.

$$-26y=30-7$$

Mblidh 30 me -7.

$$-26y=23$$

Pjesëto të dyja anët me -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Zëvendëso y me -\frac{23}{26} në 6x-4y=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Shumëzo -4 herë -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Zbrit \frac{46}{13} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$