Rozwiąż {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 5y od obu stron.

$$x-5y=5$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$x-5y=5$$

Dodaj 5y do obu stron równania.

$$x=5y+5$$

Podstaw 5+5y do x w drugim równaniu: 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Pomnóż 6 przez 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Dodaj 30y do -4y.

$$26y+30=7$$

Odejmij 30 od obu stron równania.

$$26y=-23$$

Podziel obie strony przez 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Podstaw -\frac{23}{26} do y w równaniu x=5y+5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Pomnóż 5 przez -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Dodaj 5 do -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 5y od obu stron.

$$x-5y=5$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 5y od obu stron.

$$x-5y=5$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Aby czynniki x i 6x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 6 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Uprość.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Odejmij 6x-4y=7 od 6x-30y=30, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Dodaj 6x do -6x. Czynniki 6x i -6x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-30y+4y=30-7$$

Dodaj -30y do 4y.

$$-26y=30-7$$

Dodaj 30 do -7.

$$-26y=23$$

Podziel obie strony przez -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Podstaw -\frac{23}{26} do y w równaniu 6x-4y=7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Pomnóż -4 przez -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Odejmij \frac{46}{13} od obu stron równania.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Podziel obie strony przez 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$