समाधान {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$x-5y=5$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-5y=5$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$x=5y+5$$

5+5y लाई x ले अर्को समीकरण 6x-4y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

6 लाई 5+5y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$30y+30-4y=7$$

-4y मा 30y जोड्नुहोस्

$$26y+30=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 30 घटाउनुहोस्।

$$26y=-23$$

दुबैतिर 26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{23}{26}$$

x=5y+5 मा y लाई -\frac{23}{26} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

5 लाई -\frac{23}{26} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

-\frac{115}{26} मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{15}{26}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$x-5y=5$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$x-5y=5$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-30y=30 बाट 6x-4y=7 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-30y+4y=30-7$$

4y मा -30y जोड्नुहोस्

$$-26y=30-7$$

-7 मा 30 जोड्नुहोस्

$$-26y=23$$

दुबैतिर -26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{23}{26}$$

6x-4y=7 मा y लाई -\frac{23}{26} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

-4 लाई -\frac{23}{26} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{46}{13} घटाउनुहोस्।

$$6x=\frac{45}{13}$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{26}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$