समाधान n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

n को लागि हल गर्नुहोस्

$$n=-14$$

$$n=15$$

खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, n^{2}-n-210 लाई फर्मूला n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) प्रयोग गरी फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-1 ab=-210$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -210 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -1 दिन्छ।

$$a=-15 b=14$$

प्राप्त मानहरूको प्रयोग गरेर खण्डीकरण गरिएको अभिव्यञ्जक \left(n+a\right)\left(n+b\right) लाई पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, n-15=0 र n+14=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=15 n=-14$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई n^{2}+an+bn-210 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -210 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -1 दिन्छ।

$$a=-15 b=14$$

n^{2}-n-210 लाई \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

n लाई पहिलो र 14 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म n-15 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, n-15=0 र n+14=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=15 n=-14$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$n^{2}-n-210=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 1 ले, b लाई -1 ले र c लाई -210 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-4 लाई -210 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

840 मा 1 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

841 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 विपरीत 1हो।

$$n=\frac{1±29}{2}$$

अब ± प्लस मानेर n=\frac{1±29}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 29 मा 1 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{30}{2}$$

30 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=15$$

अब ± माइनस मानेर n=\frac{1±29}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 1 बाट 29 घटाउनुहोस्।

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-14$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$n=15 n=-14$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$n^{2}-n-210=0$$

समीकरणको दुबैतिर 210 जोड्नुहोस्।

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

0 बाट -210 घटाउनुहोस्।

$$n^{2}-n=210$$

2 द्वारा -\frac{1}{2} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -1 ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{1}{2} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{1}{2} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} मा 210 जोड्नुहोस्

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

कारक n^{2}-n+\frac{1}{4}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{2} जोड्नुहोस्।

$$n=15 n=-14$$