समाधान {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+2y=46$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$8x=-2y+46$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

\frac{1}{8} लाई -2y+46 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

\frac{-y+23}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 7x+3y=47 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

7 लाई \frac{-y+23}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

3y मा -\frac{7y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{161}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{27}{5}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} मा y लाई \frac{27}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{4} लाई \frac{27}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{23}{4} लाई -\frac{27}{20} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{22}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x र 7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

सरल गर्नुहोस्।

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 56x+14y=322 बाट 56x+24y=376 घटाउनुहोस्।

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

-56x मा 56x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 56x र -56x राशी रद्द हुन्छन्।

$$14y-24y=322-376$$

-24y मा 14y जोड्नुहोस्

$$-10y=322-376$$

-376 मा 322 जोड्नुहोस्

$$-10y=-54$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{27}{5}$$

7x+3y=47 मा y लाई \frac{27}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

3 लाई \frac{27}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{81}{5} घटाउनुहोस्।

$$7x=\frac{154}{5}$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{22}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$