समाधान n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n को लागि हल गर्नुहोस्

$$n=-4$$

$$n=15$$

खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, n^{2}-11n-60 लाई फर्मूला n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) प्रयोग गरी फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -60 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -11 दिन्छ।

$$a=-15 b=4$$

प्राप्त मानहरूको प्रयोग गरेर खण्डीकरण गरिएको अभिव्यञ्जक \left(n+a\right)\left(n+b\right) लाई पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, n-15=0 र n+4=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=15 n=-4$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई n^{2}+an+bn-60 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -60 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -11 दिन्छ।

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 लाई \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

n लाई पहिलो र 4 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म n-15 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, n-15=0 र n+4=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=15 n=-4$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$n^{2}-11n-60=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 1 ले, b लाई -11 ले र c लाई -60 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 वर्ग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 लाई -60 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

240 मा 121 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 विपरीत 11हो।

$$n=\frac{11±19}{2}$$

अब ± प्लस मानेर n=\frac{11±19}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 19 मा 11 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{30}{2}$$

30 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=15$$

अब ± माइनस मानेर n=\frac{11±19}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 11 बाट 19 घटाउनुहोस्।

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-4$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$n=15 n=-4$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$n^{2}-11n-60=0$$

समीकरणको दुबैतिर 60 जोड्नुहोस्।

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 बाट -60 घटाउनुहोस्।

$$n^{2}-11n=60$$

2 द्वारा -\frac{11}{2} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -11 ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{11}{2} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{11}{2} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} मा 60 जोड्नुहोस्

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

n^{2}-11n+\frac{121}{4} गुणनखण्ड साधारणतया, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग हँदा यो \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} को रूपमा सधै गुणनखण्डीत हुन सक्छ।

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{2} जोड्नुहोस्।

$$n=15 n=-4$$