समाधान 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n को लागि हल गर्नुहोस्

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

दुवै छेउबाट 3n^{2} घटाउनुहोस्।

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} प्राप्त गर्नको लागि 9n^{2} र -3n^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$6n^{2}-23n+20=0$$

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 6n^{2}+an+bn+20 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै नकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 120 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -23 दिन्छ।

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 लाई \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

3n लाई पहिलो र -4 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 2n-5 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 2n-5=0 र 3n-4=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

दुवै छेउबाट 3n^{2} घटाउनुहोस्।

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} प्राप्त गर्नको लागि 9n^{2} र -3n^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$6n^{2}-23n+20=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 6 ले, b लाई -23 ले र c लाई 20 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 वर्ग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 लाई 20 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

-480 मा 529 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 विपरीत 23हो।

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{23±7}{12}$$

अब ± प्लस मानेर n=\frac{23±7}{12} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 7 मा 23 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{30}{12}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{30}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$n=\frac{5}{2}$$

अब ± माइनस मानेर n=\frac{23±7}{12} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 23 बाट 7 घटाउनुहोस्।

$$n=\frac{16}{12}$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{16}{12} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$n=\frac{4}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

दुवै छेउबाट 3n^{2} घटाउनुहोस्।

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} प्राप्त गर्नको लागि 9n^{2} र -3n^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$6n^{2}-23n+20=0$$

दुवै छेउबाट 20 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$6n^{2}-23n=-20$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 द्वारा भाग गर्नाले 6 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-20}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

2 द्वारा -\frac{23}{12} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{23}{6} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{23}{12} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{23}{12} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{10}{3} लाई \frac{529}{144} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

कारक n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{23}{12} जोड्नुहोस्।

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$