समाधान 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

x को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0.666666667+0.816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0.666666667-0.816496581i$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$9x^{2}-12x+10=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 9 ले, b लाई -12 ले र c लाई 10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

-12 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

-4 लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

-36 लाई 10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

-360 मा 144 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

-216 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

-12 विपरीत 12हो।

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

2 लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 6i\sqrt{6} मा 12 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

12+6i\sqrt{6} लाई 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 12 बाट 6i\sqrt{6} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

12-6i\sqrt{6} लाई 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$9x^{2}-12x+10=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

10 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$9x^{2}-12x=-10$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

9 द्वारा भाग गर्नाले 9 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-12}{9} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

2 द्वारा -\frac{2}{3} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{4}{3} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{2}{3} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{2}{3} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{10}{9} लाई \frac{4}{9} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

कारक x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{3} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$