समाधान 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x-15y-2=0$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$7x-15y=2$$

समीकरणको दुबैतिर 15y जोड्नुहोस्।

$$7x=15y+2$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

\frac{1}{7} लाई 15y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

\frac{15y+2}{7} लाई x ले अर्को समीकरण x+2y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

2y मा \frac{15y}{7} जोड्नुहोस्

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{7} घटाउनुहोस्।

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{29}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{19}{29}$$

x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} मा y लाई \frac{19}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{15}{7} लाई \frac{19}{29} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{7} लाई \frac{285}{203} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{49}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

7x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 7x-15y-2=0 बाट 7x+14y=21 घटाउनुहोस्।

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

-7x मा 7x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 7x र -7x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-15y-14y-2=-21$$

-14y मा -15y जोड्नुहोस्

$$-29y-2=-21$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$-29y=-19$$

दुबैतिर -29 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{19}{29}$$

x+2y=3 मा y लाई \frac{19}{29} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

2 लाई \frac{19}{29} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x+\frac{38}{29}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{38}{29} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{49}{29}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$